Общие сведения. Школьная энциклопедия Пример применения MATLAB

На практике при характеристике электромагнитной обстановки используют термины "электрическое поле", "магнитное поле", "электромагнитное поле". Коротко поясним, что это означает и какая связь существует между ними.

Электрическое поле создается зарядами. Например, во всем известных школьных опытах по электризации эбонита присутствует как раз электрическое поле.

Магнитное поле создается при движении электрических зарядов по проводнику.

Для характеристики величины электрического поля используется понятие напряженность электрического поля, обозначение Е, единица измерения В/м (Вольт-на-метр). Величина магнитного поля характеризуется напряженностью магнитного поля Н, единица А/м (Ампер-на-метр). При измерении сверхнизких и крайне низких частот часто также используется понятие магнитная индукция В, единица Тл(Тесла), одна миллионная часть Тл соответствует 1,25 А/м.

По определению, электромагнитное поле - это особая форма материи, посредством которой осуществляется воздействие между электрическими заряженными частицами. Физические причины существования электромагнитного поля связаны с тем, что изменяющееся во времени электрическое поле Е порождает магнитное поле Н, а изменяющееся Н - вихревое электрическое поле: обе компоненты Е и Н, непрерывно изменяясь, возбуждают друг друга. ЭМП неподвижных или равномерно движущихся заряженных частиц неразрывно связано с этими частицами. При ускоренном движении заряженных частиц, ЭМП "отрывается" от них и существует независимо в форме электромагнитных волн, не исчезая с устранением источника (например, радиоволны не исчезают и при отсутствии тока в излучившей их антенне).

Электромагнитные волны характеризуются длиной волны. Источник, генерирующий излучение, а по сути создающий электромагнитные колебания, характеризуются частотой.

Жизнь на Земле возникла, развивалась и долгое время протекала в условиях относительно слабых электромагнитных полей (ЭМП), создаваемых естественными источниками. К ним относятся электрическое и магнитное поле Земли, космические источники радиоволн (Солнце и другие звезды), процессы, происходящие в атмосфере Земли, например, разряды молнии, колебания в ионосфере. Человек тоже источник слабого ЭМП. Являясь постоянно действующим экологическим фактором, эти поля имеют определенное значение в жизнедеятельности всех организмов, в том числе и человека.

Однако, за последние 50-60 лет возник и сформировался новый значимый фактор окружающей среды - электромагнитные поля антропогенного происхождения. Их создают 2 большие группы искусственных источников:

Изделия, которые специально создавались для излучения электромагнитной энергии: радио- и телевизионные вещательные станции, радиолокационные установки, физиотерапевтические аппараты, различные системы радиосвязи, технологические установки в промышленности;

Излучаемые этими устройствами электромагнитные поля вместе с естественными полями Земли и Космоса создают сложную и изменчивую электромагнитную обстановку. В результате суммарная напряженность ЭМП в различных точках земной поверхности увеличилась по сравнению с естественным фоном в 100-10000 раз. Особенно резко она возросла вблизи ЛЭП, радио- и телевизионных станций, средств радиолокации и радиосвязи, различных энергетических и энергоемких установок, городского электротранспорта. В масштабах эволюционного прогресса этот колоссальный рост напряженности ЭМП можно рассматривать как одномоментный скачок с плохо предсказуемыми биологическими последствиями.

Вещество и поле - фундаментальные физические понятия, обозначающие два основных вида материи на макроскопическом уровне:

Вещество - совокупность дискретных образований, обладающих массой покоя (атомы, молекулы и то, что из них построено);

поле - вид материи, характеризующейся непрерывностью и имеющей нулевую массу покоя (электромагнитное поле и поле тяготения - гравитационное). Открытие поля как вида материи имело огромное философское значение, т. к. обнаружило несостоятельность метафизического отождествления материи с веществом. Разработка Лениным диалектико-материалистического определения материи во многом опиралась на философское обобщение развития учения о поле. На субатомном уровне (т. е. на уровне элементарных частиц) различие вещества и поля становится относительным. Поле (электромагнитное и гравитационное) утрачивают чисто непрерывный характер: им необходимо соответствуют дискретные образования - кванты (фотоны и гравитоны). А элементарные частицы, из которых состоит вещество - протоны, нейтроны, электроны, мезоны и т. д. - выступают как кванты соответствующих нуклонных, мезонных и др. полей и утрачивают свой чисто дискретный характер. Неправомерно на субатомном уровне различать вещество и поле и по наличию или отсутствию массы покоя, т. к. нуклонные, мезонные и т. д. поля обладают массой покоя. В современной физике поля и частицы выступают как две неразрывно связанные стороны микромира, как выражение единства корпускулярных (дискретных) и волновых (континуальных, непрерывных) свойств микрообъектов. Представления о поле выступают также как основа для объяснения процессов взаимодействия, воплощая принцип близкодействия.

Основные характеристики вещества и поля

1. Вещество и поле различаются по массе покоя

Частицы вещества обладают массой покоя, электромагнитное и гравитационное поля - нет. Однако в микромире каждому полю сопоставляется частица (квант этого поля) и каждая частица рассматривается как квант соответствующего поля. Для ядерных полей (мезонного, нуклонного и т.д.) это различие уже неверно - кванты этих полей обладают конечной массой покоя.

2. Вещество и поле различаются по закономерностям движения

Скорость распространения электромагнитного и гравитационного полей всегда равна скорости света в пустоте (с), а скорость движения частиц вещества всегда меньше с. Однако наличие ядерных полей ликвидирует и эту границу. Для квантов этих полей как раз характерна невозможность движения со скоростью, равной с.

3. Вещество и поле различаются по степени проницаемости

Вещество мало проницаемо, электромагнитное и гравитационное поля - наоборот.

На уровне микромира и эта граница исчезнет. Для таких частиц, как нейтрино, вещество оказывается весьма проницаемым, с другой стороны, ядерные поля могут обладать очень малой проницаемостью.

4. Вещество и поле различаются по степени концентрации массы и энергии

Очень большая - у частиц вещества и очень малая - у электромагнитного и гравитационного полей. В микромире и это различие стирается. Ядерные поля обладают огромной концентрацией массы и энергии, и даже кванты электромагнитного поля могут достигать концентраций энергии, значительно превосходящих таковую у частиц вещества.

5. Вещество и поле различаются как корпускулярная и волновая сущности

Это различие исчезает на уровне микропроцессов. Частицы вещества обладают волновыми свойствами, а непрерывное в макроскопических процессах электромагнитное поле обнаруживает на уровне микромира свой корпускулярный аспект.

Общий вывод:

Различие вещества и поля верно характеризует реальный мир в макроскопическом приближении. Это различие не является абсолютным и при переходе к микрообъектам ярко обнаруживается его относительность. В микромире понятия «частицы» (вещество) и «волны» (поля) выступают как дополнительные характеристики, выражающие внутренне противоречивую сущность микрообъектов.

Физическое поле - это особая форма материи, существующая в каждой точке пространства, проявляющаяся воздействием на вещество, обладающее свойством, родственным с тем, которое создало это поле.

тело + заряд  поле  тело + заряд

Например, в случае излучения одиночного радиоимпульса при значительном расстоянии между передающей и приемной антеннами в какой-то момент времени окажется, что сигнал уже излучен передающей антенной, но еще не принят приемной. Следовательно, в данный момент времени энергия сигнала будет локализована в пространстве. В этом случае очевидно, что носитель энергии не является привычной материальной средой, а представляет собой иную физическую реальность, которая называется полем .

Существует принципиальная разница в поведении вещества и поля.

Основное отличие - это плавность. Вещество всегда имеет резкую границу того объема, который оно занимает, а поле принципиально не может иметь резкой границы (макроскопический подход ), оно изменяется плавно от точки к точке. В одной точке пространства может существовать бесконечное количество физических полей, не влияющих друг на друга, чего нельзя сказать о веществе. Поле и вещество могут взаимно проникать друг в друга.

ЭМП и электрический заряд представляют собой основные понятия, относящиеся к физическим явлениям электромагнетизма.

ЭМП – это особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между электрическими зарядами, отличающаясянепрерывным распределением в пространстве (ЭМВ, ЭМП заряженных частиц) и обнаруживающаядискретность структуры (фотоны), характеризующаяся способностью распространяться в вакууме со скоростью, близкой кс , оказывающая на заряженные частицы силовое воздействие, зависящее от их скорости .

ЭМП может быть полностью описано с помощью скалярного и векторного потенциалов, составляющих согласно теории относительности единый четырехмерный вектор в пространстве-времени, компоненты которого преобразуются при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую в соответствии с преобразованиями Г. Лоренца .

Электрический заряд – свойство частиц вещества или тел, характеризующее их взаимосвязь с собственным ЭМП и их взаимодействие с внешним ЭМП; имеет два вида, известные как положительный заряд (заряд протона) и отрицательный (заряд электрона) заряд; количественно определяется по силовому взаимодействию тел, обладающих электрическими зарядами .

Для анализа ЭМП удобна идеализация «точечный заряд» – заряд, сосредоточенный в точке. Наименьшим зарядом в природе считается заряд электронаe эл =1,60210 -19 Кл, поэтому заряды тел должны быть кратныe эл .

Однако часто удобно считать заряд непрерывно распределенным (макроскопический подход). Существует понятие объемной (, Кл/м 3), поверхностной (
, Кл/м 2) и линейной (, Кл/м) плотности заряда.

. (1.1)

. (1.2)

. (1.3)

ЭМП неподвижных электрических зарядов неразрывно связано с частицами, порождающими его, но ЭМП заряженной частицы, движущейся ускоренно, может существовать независимо от вещества в виде ЭМВ .

ЭМВ – ЭМ колебания, распространяющиеся в пространстве с течением времени с конечной скоростью.

При исследовании ЭМП обнаруживаются две формы его проявления – электрическое и магнитное поля, которым можно дать следующие определения.

Электрическое поле – одно из проявлений ЭМП, обусловленное электрическими зарядами и изменением магнитного поля, оказывающее силовое воздействие на заряженные частицы и тела, выявляемое по силовому воздействию нанеподвижные заряженные тела и частицы.

Магнитное поле – одно из проявлений ЭМП, обусловленное электрическими зарядамидвижущихся заряженных частиц (и тел) и изменением электрического поля, оказывающее силовое воздействие надвижущиеся заряженные частицы, выявляемое по силовому воздействию, направленному нормально к направлению движения этих частиц и пропорциональному их скорости .

Разделение ЭМП на электрическое и магнитное поля имеет относительный характер, поскольку зависит от выбора инерциальной системы отсчета, в которой исследуется ЭМП. Например, если некоторая система состоит из покоящихся электрических зарядов, то при исследовании ЭМП в данной системе будет установлено наличие электрического поля и отсутствие магнитного. Однако если другая система координат будет двигаться относительно данной системы, то во второй системе будет обнаружено и магнитное поле .

Основными характеристиками ЭМП считаются(напряженность электрической составляющей поля ) и(магнитная индукция ), которые описывают проявление механических сил в ЭМП и могут быть непосредственно измерены. Напряженность электрического поля можно определить как силу, действующую на точечный заряд известной величины (силу Ш. Кулона ):

. (1.4)

Магнитная индукция определяется через силу, действующую на точечный зарядq известной величины,движущийся в магнитном поле со скоростью, (силу Г. Лоренца )
:

. (1.5)

Вспомогательными характеристиками ЭМП являются (электрическая индукция илиэлектрическое смещение ) и(напряженность магнитной составляющей ЭМП ). Названия характеристик ЭМП не бесспорны, но они сложились исторически. Единицы измерения основных характеристик ЭМП приведены на стр. 3. Мы будем пользоватьсяМеждународной системой единиц СИ , наиболее удобной дляпрактических применений.

Связь между и основными и вспомогательными характеристиками осуществляется с помощью материальных уравнений :

. (1.6)

. (1.7)

В большинстве сред векторы и, как ии,коллинеарны (Приложение 1). Но в случае гироэлектрических (сегнетоэлектрики) и гиромагнитных (ферромагнетики) сред и становятсятензорными величинами, и указанные в парах векторы могут утратить коллинеарность.

Величина
называетсямагнитным потоком .

Величина  -удельная проводимость среды. С учетом этой величины можно связатьплотность тока проводимости (j пр ) и напряженность поля:

. (1.8)

Уравнение (1.8) представляет собой дифференциальную форму закона Г. Ома для участка цепи.

Поля разделяются на скалярные , векторные и тензорные .

Скалярное поле – это непрерывно распределенная в каждой точке пространства некая скалярная функция с областью определения (рис. 1.1). Скалярное поле характеризуется поверхностью уровня (например, на рис. 1.1 – эквипотенциальными линиями), которую задает уравнение:
.

Векторное поле – это заданное в каждой точке пространства непрерывная векторная величина с областью определения (рис. 1.2) Основной характеристикой этого поля являетсявекторная линия , в каждой точке которойвектор поля направлен по касательной. Физическая записьсиловых линий :
.

Тензорное поле – это распределенная в пространстве непрерывная тензорная величина. Например, для анизотропного диэлектрика его относительная диэлектрическая проницаемость становится тензорной величиной:
.

П р и м е р 7.1. В электрическом поле точечного заряда напряжение между точками а и b равно 25 В (рис. 7.1). Определить значение и направление напряженности поля в точке с , если точки a , b и с лежат в плоскости рисунка.

Р е ш е н и е. Напряженность электрического поля точечного заряда в произвольной точке

E = . (1)

Напряженность электрического поля в точке с

E с = . (2)

Напряжение между точками a и b

= (3)

Получив выражение для заряда q из уравнения (3) и подставив его в уравнение (2), найдем

Е с = = 525 В.

П р и м е р 7.2. Коаксиальный кабель имеет радиусы внутренней жилы a = 2 мм и внешней оболочки b = 5 мм.

Определить емкость кабеля на единицу длины и под какое напряжение можно подключить кабель, если максимальная напряженность поля не должна превышать 1/3 пробивной напряженности, равной Е пр = 2·10 4 кВ/м.

Р е ш е н и е. Проведем вокруг внутренней жилы коаксиального кабеля цилиндрическую поверхность радиусом r и длиной l .

По теореме Гаусса ∫ .

Из условий симметрии находим, что напряженность электрического поля Е направлена по радиусу и на торцевых поверхностях

Тогда уравнение Гаусса можно записать в виде Е ·2πrl = q/ε a .

Откуда E = q /2πε a rl = , где τ -линейная плотность заряда.

По определению потенциал в любой точке равен

Полагая потенциал равным нулю на поверхности коаксиального кабеля при r = b , найдем произвольную постоянную const = .

Тогда потенциал в любой точке равен

Потенциал внутренней жилы коаксиального кабеля (при r = a ) определим по уравнению .

Это позволяет выразить линейную плотность заряда через напряжение U

и определить емкость кабеля на единицу длины

Напряженность электрического поля в любой точке

Напряженность поля максимальна на поверхности внутреннего цилиндра, т.е. в точках r = a: Е max = . (1)

По условию Е max =Е пр /3. (2)

Решая уравнение (1) относительно выражения U и учитывая соотношение (2), получаем = 12,2 кВ.

П р и м е р 7.3. Определить потенциал точки М, расположенной между двумя заряженными осями. Определить положение эквипотенциалей.

Р е ш е н и е. Пусть одна ось на единицу длины имеет заряд +τ, другая – заряд – τ. Возьмем в поле некоторую произвольную точку М (рис.7.3) Результирующая напряженность поля в ней равна геометрической сумме напряженностей от обоих зарядов. Расстояние точки М до положительно заряженной оси обозначим через а , до отрицательно заряженной оси – через b . Потенциал есть функция скалярная. Потенциал точки М равен сумме потенциалов от каждой оси: .

Потенциал определяется с точностью до постоянной С . Зададим φ = 0 при a = b . Для этого проведем ось х декартовой системы координат через заряженные оси, а ось y посредине между заряженными осями. Тогда при расположении точки М на оси у (при х = 0) всегда а = b и

φ М = С = 0. В остальных случаях

Эквипотенциаль представляет собой совокупность точек, отношение расстояний которых до двух заданных точек есть величина постоянная, т.е. b/a = const = k . Поскольку

и то ,

или .

Последнее уравнение определяет окружность радиуса ,

у которой центр смещен относительно начала координат на расстояние . Между величинами x 1 , R , x 0 выполняется равенство x 1 2 = x 0 2 +R 2

Таким образом, уравнение эквипотенциали для двух заряженных осей является окружность, смещенная относительно начала координат. Для построения картины поля нужно, чтобы приращение потенциала при переходе от любой линии равного потенциала к соседней оставалось постоянным, т.е.

или при возрастании порядкового номера эквипотенциали числа k должны изменяться по геометрической прогрессии .

П р и м е р 7.4. Два провода радиусом 1 мм расположены на расстоянии 10 мм друг от друга. Провода находятся под напряжением 100 В. Построить картину электростатического поля между проводами. Рассчитать емкость на единицу длины. Разбить весь поток на 12 трубок равного потока, эквипотенциали провести через 10 В.

Р е ш е н и е . Известно, что поверхность проводящего тела является поверхностью с равным потенциалом (эквипотенциальной поверхностью) и напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю.

Так как провода находятся под напряжением 100 В, то можно положить, что потенциал левого проводника равен 50 В, а у правого проводника – 50 В (потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной). При таком условии поверхность с потенциалом равном нулю будет находиться посередине между проводниками.

Из предыдущей задачи известно, что эквипотенциали для двух заряженных осей являются окружностями, смещенными на разные расстояния по отношению к началу координат. В рассматриваемой задаче поверхности проводников являются эквипотенциалями и имеют вид окружности. По-видимому можно найти такое положение заряженных осей, чтобы они создавали эквипотенциаль радиусом

1 мм с потенциалом 50 В, и тогда все расчеты можно провести, используя формулы предыдущей задачи.

Полагая радиус эквипотенциали R = 1 мм, координату центра эквипотенциали (смещение от начала координат) x 1 = l /2 = 5 мм, найдем координату заряженной оси .

Возьмем точку М на эквипотенциале (для удобства вычисления расположим ее при y = 0) и найдем отношение расстояний от точки М до заряженных осей (рис. 7.4)

Используя полученное в предыдущем примере уравнение для потенциала

и подставляя в него значение потенциала точки М и величину отношения а/b = k м = 0,101, найдем линейную плотность заряда

**)

Для определения положения эквипотенциалей со значениями

φ 10 = – 10 В, φ 20 = –20 В, φ 30 = –30 В, φ 40 = –40 В используем уравнение (*) и находим величины k 10 , k 20 , k 30 , k 40:

Аналогично

Используя полученные ранее уравнения для радиуса и координаты центра эквипотенциалей найдем соответствующие величины. Например, для эквипотенциали φ 30 = –30 В находим

= 5,57 мм.

Откладывая от начала координат величину x 30 = 5,57 мм, находим координату центра окружности и радиусом R 30 = =2,65 мм проводим дугу (рис.7.4). Во всех точках, лежащих на этой дуге потенциал равен φ 30 = –30 В. Аналогично строим эквипотенциали φ 10, φ 20 и φ 40 (рис.7.5). Эквипотенциали с положительными значениями потенциала 10, 20, 30, 40 В строят по тем же цифрам, но откладывают их слева от оси y .

Для определения емкости на единицу длины используем уравнение (**):

Для построения силовых линий электростатического поля двух заряженных осей используем уравнение любой линии напряженности поля

Эта линия представляет собой дугу окружности, проходящей через заряженные оси. Действительно для всех точек, лежащих на дуге

V = const угол θ = θ 2 – θ 1 будет неизменным, так как он измеряется половиной дуги AFB (рис.7.6).

При этом центральный угол AOF тоже равен θ , так как он определяется дугой ASF, которая равна половине дуги AFB. Это позволяет определить радиус этой дуги и смещение ее центра у 1 = OO 1 = x 0 ctgβ , где β = π – θ.

Чтобы подразделить поле на трубки равного потока следует получить разности ∆V = V ν +1 – V ν одинаковые для двух любых соседних линий. Для этого необходимо при переходе от любой линии напряженности поля к соседней, изменять угол θ на постоянную величину ∆θ . Чтобы разбить весь поток электростатического поля на 12 трубок равного потока, нужно дать приращения углов θ на , т.е. иметь углы θ равные . При этом шесть трубок будет выше оси x и шесть трубок – ниже. Для проведения соответствующих окружностей находим координаты их центров по уравнению y к = x 0 ctgθ к . Получаем у 1 = ±9,9мм, у 2 = ± 5,8 мм, у 3 = 4,9 мм. Окружности должны были проходить через заряженные оси, так как в данной задаче рассматривается поле, созданное двумя проводниками и внутри проводников электрическое поле отсутствует, то силовые линии, ограничивающие трубки равного потока должны начинаться на левом проводнике и заканчиваться на правом (рис.7.5).

По картине поля можно ориентировочно определить емкость двухпроводной линии на единицу длины. Полагая, что при пересечении силовых линий и эквипотенциалей на рис.7.5 получились криволинейные квадраты, найдем

где m – число трубок равного потока, n – число приращений потенциала. Сравнивая полученный результат с вычисленным ранее, находим, что погрешность графического метода порядка 12 %.

d = 0,5мм. Кабель находится под напряжением 100 В. Определить емкость кабеля на единицу длины.

Р е ш е н и е . Так как металлические поверхности жилы и экрана являются эквипотенциальными и в поперечном сечении представляют окружности, то используя аналогию с эквипотенциальными поверхностями двух заряженных осей (рис. 7.7), рассчитаем линейную плотность заряда, которая создала бы разность потенциалов 100 В между эквипотенциалями диаметрами 1 и 4 мм. При этом поверхность с потенциалом, равным нулю, окажется в стороне, потенциалы точек N и M будут сравнительно большими, но разность их будет равна 100 В, т.е. φ N – φ M = 100 В.

Обозначая величины смещения центров окружностей от начала координат (где φ = 0) соответственно х 1 и х 2 , запишем для них уравнение

Решая полученную систему уравнений, находим

Потенциалы точек М и N определяются уравнениями

где

Зная разность потенциалов φ N – φ M = 100 В, определим линейную плотность заряда, обеспечивающую эту разность потенциалов:

или

Тогда потенциал точки М равен

Для построения эквипотенциалей внутри коаксиального кабеля нужно сначала найти значение коэффициентов k 20 , k 40 , k 60 , k 80 . Например, для эквипотенциали, соответствующей 40 % напряжения, приложенного между электродами, найдем k 40 из уравнения:

или

Тогда радиус эквипотенциали и координата ее центра определяем по уравнению

, .

Аналогично определяем

и соответствующие радиусы эквипотенциалей и координаты их центров.

Емкость на единицу длины коаксиального кабеля со смещенной жилой определяем по формуле

Ф/м.

П р и м е р 7.6. Вдоль двухпроводной линии протекает постоянный ток I = 36 А. Направление тока в проводах линии показательно на рис. 7.8. Расстояние между осями проводов d = 1 м.

Определить разность скалярных магнитных потенциалов между точками M и N , M и P , т.е. и . Координаты точек x M = 0,5м; y M = 0,5м; x N = 0; y N = 0,5м; x р = – 0,5м;

y р = – 0,5м. Качественно построить картину магнитного поля двухпроводной линии.

Р е ш е н и е. M и N по пути MlN, обусловленное током левого провода

(рис. 7.9,а ), U mM = .

Магнитное напряжение между точками M и N по пути MКN, обусловленное током правого провода,

, где β = 45º,

так как . Для определения угла α сначала найдем угол γ , считая tg γ = y м /d = 0,5; γ = 26,5º, и α = 45º – 26,5º = 18,5º.

Магнитное напряжение между точками M и N

U mMN = = 36/360º (– 45º+18,5º) = – 2,65 А.

Магнитное напряжение между точками M и P (рис. 7.9, б )

U mMP = = (I /360) β 1 – (I /360) α 1 = 12,5 А,

где β 1 = 360º – 90º – 26,5º = 243,5º; α 1 = 90º+26,5º = 116,5º.

Картина магнитного поля двухпроводной линии приведена на рис. 7.9, в .

П р и м е р 7.7. Вдоль длинного цилиндрического стального провода протекает постоянный ток. Радиус провода r 0 =1 см. Относительная магнитная проницаемость стали μ = 50. Средой, окружающей провод, является воздух. Проекция векторного магнитного потенциала на ось z меняется в функции расстояний от оси провода по закону A 1 = – 6,28 r 2 Вб/м, а вне провода она меняется по закону

А 2 = – 25,1· 10 -6 In – 6,28·10 -4 Вб/м.

Найти законы изменения модуля напряженности магнитного поля и модуля вектора намагниченности в функции расстояния от оси провода. Построить графики Н = f (R) и J = f 1 (R) при 0 < r < ∞.

Р е ш е н и е. Так как , то модуль вектора магнитной индукции внутри и вне провода найдем из выражений

B 1 = B 1 α = rot α = – = 12,56 r,

B 2 = B 2 α = rot α = – = 25,1·10 -6 1/r .

Определим модуль напряженности магнитного поля внутри и вне провода, полагая μ 1а = μ∙μ 0 , μ 2а = μ 0:

Н 1 =В 1 /μ 1а =2·10 5 r А/м, (1)

Н 2 =В 2 /μ 2а =20 1/ r А/м. (2)

Пользуясь выражениями (1) и (2), строим график зависимости Н =f(r) (рис. 7.10). Так как индукция , то модуль вектора

намагниченности внутри провода

J 1 = В 1 /μ 0 – H 1 =9,8·10 6 r А/м; (3)

модуль вектора намагниченности вне провода J 2 = 0. (4)

По уравнениям (3) и (4) строим график зависимости J= f(r) (рис.7.10).

П р и м е р 7.8. Определить индуктивность двухпроводной линии, если радиус проводников а , а расстояние между проводниками d. (Рис.7.11)

Р е ш е н и е. Выберем внутри проводника площадку dS = ldr и определим магнитный поток внутри проводника

;

и потокосцепление

. (1)

Так как через сечение проводника радиуса r протекает часть тока I, равная ,

то из закона полного тока Hdl=i определим

и подставим это выражение в уравнение (1):

μ a ldr =

Определим магнитный поток и потокосцепление между проводниками от одного проводника (снаружи)

Определим суммарное потокосцепление от двух проводников

Индуктивность двухпроводной линии

При d >>a и немагнитных проводниках .

П р и м е р 7.9. Электрический ток i = 100 А течет по бесконечно длинному прямолинейному проводу круглого сечения радиусом R = 2 см, расположенному в однородной среде с магнитной проницаемостью μ 0 . Рассчитайте и постройте зависимости А(r), В(r) внутри и вне провода.

Р е ш е н и е . Векторный магнитный потенциал удовлетворяет внутри и вне провода уравнениям при 0 ≤ r ≤ R ;

при r ≥ R, решение этих уравнений имеет вид

При 0 ≤ r ≤ R

и A(r) = C 3 ln r + C 4 , B(r) = – C 3 /r при r ≥ R .

Для нахождения входящих в решения постоянных С 1 , С 2 , С 3 , С 4 используем следующие условия. Так как при r = 0 имеем В = 0, то

C 1 = 0. При r = R магнитная индукция не может иметь разрыв, что приводит к условию откуда получаем .

Потенциал А при r = R также непрерывен:

Одна из постоянных (С 2 или С 4) может иметь произвольное конечное значение, так как изменение векторного магнитного потенциала на постоянную не оказывает влияния на магнитную индукцию. Принимая С 4 = 0, получаем С 2 = –μ 0 i (lnR – 0,5)/2π и окончательно можем написать

При 0 ≤ r ≤ R ;

при r ≥ R .

П р и м е р 7.10. Используя метод наложения, рассчитайте зависимость А(х) вдоль линии, соединяющей ближайшие друг к другу точки двух бесконечно длинных прямолинейных проводов круглого сечения с токами встречных направлений, расположенных в однородной среде с магнитной проницаемостью μ 0 . Расстояние между осями проводов d = 10 см. Ток каждого провода i = 80 А.

Р е ш е н и е. Поместим начало прямоугольной системы координат в точке на расстоянии 0,5d от осей проводов (рис.7.12.). Потенциал вне проводов в точках оси х, в соответствии с решением предыдущего примера равен

Постоянную С принимаем равной нулю, так как при x = 0 имеем А = 0

П р и м е р 7.11. В пазу прямоугольной формы, изображенном на рис.7.13, размещены два провода прямоугольного сечения с токами встречных направлений. Допуская, что имеющий единственную составляющую А z векторный магнитный потенциал зависит только от координаты у, найдите зависимости А z (у), В х (у) для 0 ≤ у ≤ h и постройте кривые их изменения. Ток одного провода i = 50 А, магнитная проницаемость вещества провода μ 0 .

Р е ш е н и е . Векторный магнитный

потенциал удовлетворяет уравнению

где

Интегрируя уравнение, получаем

при 0 ≤ y ≤ 0,5h и

при 0,5h ≤ y ≤ h

Постоянную С 1 интегрирования определяем из условия B x = 0 при y = 0: получаем C 1 = 0. Интегрирование функции B x (y) = dA/dy приводит к выражениям при 0 ≤ y ≤ 0,5h и

при 0,5h ≤ y ≤ h .

Постоянную С можно принять произвольной, например, равной нулю, поскольку ее значение не оказывает влияния на магнитную индукцию. Кривые зависимостей В х (у), А(у ) (принято С = 0) показаны на рис.7.14.

П р и м е р 7.12. Постройте картину магнитного поля в воздушной области, ограниченной внутренним контуром стальных листов (рис 7.15), принимая допущение о том, что магнитная проницаемость вещества сердечника бесконечно велика и что магнитное поле является плоскопараллельным, не изменяющимся в направлении, перпендикулярном плоскости листов. Обмотку центрального стержня представьте в виде бесконечно тонкого охватывающего стержень слоя тока, по высоте которого ток распределен равномерно. Рассчитайте индуктивность L обмотки,используя построенную картину магнитного поля.

Обозначения размеров магнитной системы показаны на рис.7.15:

а = с = 12 см, е = 2см, b = 6 см, d = 4 см, h = 6 см. Число витков обмотки w = 100, ток в обмотке I = 1 A.

Р е ш е н и е .Учитывая симметрию поля относительно пунктирной линии (см.рис.7.15), ограничимся построением картины поля лишь в половине всей области. Для построения картины магнитного поля, включающей линии напряженности и линии постоянных значений скалярного магнитного потенциала, следует задать граничные условия для скалярного магнитного потенциала на линии ABCDEFGA. Поскольку обмотка стержня представлена в виде бесконечно тонкого слоя с постоянной линейной плотностью тока, то скалярный магнитный потенциал изменяется вдоль линии CD по линейному закону, причем разность потенциалов между точками С и D равна Iw = 100 А. Потенциал в точке D задаем равным нулю. Так как магнитная проницаемость материала сердечника принята бесконечно большой, то скалярный потенциал на линии DEFG сохраняется постоянным и равным нулю. По той же причине потенциал будет постоянным и равным 100 А на линии ABC. Линия AG является линией симметрии; нормальная к ней составляющая напряженности Н n магнитного поля равна нулю, и поэтому на ней

При построении картины поля следует соблюдать следующие правила: а) линии напряженности поля и линии постоянного потенциала должны пересекаться под прямым углом, б) линии напряженности поля должны подходить под прямым углом к поверхностям, на которых потенциал постоянный, в) ячейки сетки, образованные линиями напряженности поля и линиями постоянного потенциала, должны быть подобными.

Примем изменение ΔU m потенциала при переходе от любой линии к соседней равным 25 А. В этом случае следует изобразить всего три линии, на которых потенциал равен 25 , 50 и 75 А. Необходимо отметить точки токового слоя (p , q , r ), в которых потенциал принимает эти значения, и проводить линии, начиная с этих точек. Так как линейная плотность тока постоянна, то эти точки распределены вдоль линии CD равномерно. Определив ориентировочно вид этих линий, переходим к изображению линий напряженности магнитного поля, стараясь выполнить правила построения картины поля. Обычно линии напряженности поля проводят так, чтобы ячейки были квадратными или близкими к ним, т.е. чтобы отношение Δa /Δn (рис.7.16) было близким к единице.

После этого следует скорректировать положение линий постоянного потенциала, затем – положение линий напряженности поля и т. д. Эту процедуру следует выполнять до тех пор, пока картина поля не будет удовлетворять требуемым правилам. В итоге получаем картину

поля (рис.7.16), в которой линии напряженности подразделяют всю область на трубки постоянных значений потока. Заметим, что линии напряженности поля подходят к линии CD под углом, не равным 90°, так как на этой линии распределен слой тока.

Для расчета индуктивности L , находим магнитный поток, сцепленный с обмоткой среднего стержня. С этой целью вычисляем магнитный поток одной трубки, а также число трубок, сцепленных с обмоткой. Магнитный поток трубки равен ΔФ = μ 0 HΔS = μ 0 (ΔU m /Δn ) Δаt = 8π ·10 -7 Вб (принято толщина сердечника t = 0,02м Δa /Δn = 1). Трубки магнитного потока с номерами 1, 2,... 6 (рис.7.16) охватывают всю обмотку, тогда как трубки с номерами 7, 8, 9 охватывает лишь ее части. Пунктирными линиями на рис.7.16 изображены средние, или осевые линии некоторых трубок, по положению которых и определяем, какую часть обмотки охватывает трубка потока.

Таким образом, полный поток, сцепленный с обмоткой среднего стержня, составляет ψ 1 = 2ΔФw 1 (m 0 + h 1 /h + h 2 /h ... ), где m 0 – число трубок, сцепленных со всеми витками w 1 обмотки. Число слагаемых вида h K /h равно числу трубок, сцепленных не со всей обмоткой. Имеем

ψ 1 = 1,6π·10 -6 (6 +0,97 + 0,84+0,67) ≈ 4,3·10 -5 Вб, L = ψ 1 /i = 4,3·10 -5 Гн.

П р и м е р 7.13. Плоская электромагнитная волна проникает из воздуха в металлическую плиту. Удельная проводимость металла

γ = 5·10 6 См/м, его относительная магнитная проницаемость μ = 1. Фронт волны параллелен поверхности плиты. Частота колебаний f = =5000 Гц. Амплитуда плотности тока на поверхности J m = =5√2·10 5 А/м 2 .

Определить активную мощность, поглощаемую слоем металла толщиной 0,5 см и площадью 1м 2 . Найти глубину проникновения электромагнитной волны h и ее длину λ в металле.

Р е ш е н и е. Комплекс действующего значения модуля вектора Пойнтинга на поверхности плиты ,

где ; ; Z B = = 8,85·10 -5 е j 45º Ом.

Подставляя числовые значения в последние уравнения, получим

=1130 е j 45º Вт/м 2 .

Комплекс действующего значения модуля вектора Пойтинга на глубине x = 0,5 см

= 1130 е – 314 · 0,005 е j 45º = 235 е j 45º Вт /м 2 ,

где κ = = 314 м -1.

Активная мощность, поглощаемая слоем металла толщиной

5 мм и площадью s = 1 м 2 , P = (S 1 -S 2)s cos 45º = 632 Вт.

Глубина проникновения электромагнитной волны в металл

Подробности Категория: Электричество и магнетизм Опубликовано 05.06.2015 20:46 Просмотров: 12992

Переменные электрическое и магнитное поля при определённых условиях могут порождать друг друга. Они образуют электромагнитное поле, которое вовсе не является их совокупностью. Это единое целое, в котором эти два поля не могут существовать друг без друга.

Из истории

Опыт датского учёного Ханса Кристиана Эрстеда, проведенный в 1821 г., показал, что электрический ток порождает магнитное поле . В свою очередь, изменяющееся магнитное поле способно порождать электрический ток . Это доказал английский физик Майкл Фарадей , открывший в 1831 г. явление электромагнитной индукции. Он же является автором термина «электромагнитное поле».

В те времена в физике была принята концепция дальнодействия Ньютона . Считалось, что все тела действуют друг на друга через пустоту с бесконечно большой скоростью (практически мгновенно) и на любом расстоянии. Предполагалось, что и электрические заряды взаимодействуют подобным образом. Фарадей же считал, что пустоты в природе не существует, а взаимодействие происходит с конечной скоростью через некую материальную среду. Этой средой для электрических зарядов является электромагнитное поле . И оно распространяется со скоростью, равной скорости света .

Теория Максвелла

Объединив результаты предыдущих исследований, английский физик Джеймс Клерк Максвелл в 1864 г. создал теорию электромагнитного поля . Согласно ей, изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле, а переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле. Конечно, вначале одно из полей создаётся источником зарядов или токов. Но в дальнейшем эти поля уже могут существовать независимо от таких источников, вызывая появление друг друга. То есть, электрическое и магнитное поля являются составляющими единого электромагнитного поля . И всякое изменение одного из них вызывает появление другого. Эта гипотеза составляет основу теории Максвелла. Электрическое поле, порождаемое магнитным полем, является вихревым. Его силовые линии замкнуты.

Эта теория феноменологическая. Это означает, что она создана на основе предположений и наблюдений, и не рассматривает причину, вызывающую возникновение электрических и магнитных полей.

Свойства электромагнитного поля

Электромагнитное поле - это совокупность электрического и магнитного полей, поэтому в каждой точке своего пространства оно описывается двумя основными величинами: напряжённостью электрического поля Е и индукцией магнитного поля В .

Так как электромагнитное поле представляет собой процесс превращения электрического поля в магнитное, а затем магнитного в электрическое, то его состояние постоянно меняется. Распространяясь в пространстве и времени, оно образует электромагнитные волны. В зависимости от частоты и длины эти волны разделяют на радиоволны, терагерцовое излучение, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновское и гамма-излучение .

Векторы напряжённости и индукции электромагнитного поля взаимно перпендикулярны, а плоскость в которой они лежат, перпендикулярна направлению распространения волны.

В теории дальнодействия скорость распространения электромагнитных волн считалась бесконечной большой. Однако Максвелл доказал, что это не так. В веществе электромагнитные волны распространяются с конечной скоростью, которая зависит от диэлектрической и магнитной проницаемости вещества. Поэтому Теорию Максвелла называют теорией близкодействия.

Экспериментально теорию Максвелла подтвердил в 1888 г. немецкий физик Генрих Рудольф Герц. Он доказал, что электромагнитные волны существуют. Более того, он измерил скорость распространения электромагнитных волн в вакууме, которая оказалась равной скорости света.

В интегральной форме этот закон выглядит так:

Закон Гаусса для магнитного поля

Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю .

Физический смысл этого закона в том, что в природе не существует магнитных зарядов. Полюса магнита разделить невозможно. Силовые линии магнитного поля замкнуты.

Закон индукции Фарадея

Изменение магнитной индукции вызывает появление вихревого электрического поля.

Теорема о циркуляции магнитного поля

В этой теореме описаны источники магнитного пόля , а также сами поля, создаваемые ими.

Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле .

Е – напряжённость электрического поля;

Н – напряжённость магнитного поля;

В – магнитная индукция. Это векторная величина, показывающая, с какой силой магнитное поле действует на заряд величиной q, движущийся со скоростью v;

D – электрическая индукция, или электрическое смещение. Представляет собой векторную величину, равную сумме вектора напряжённости и вектора поляризации. Поляризация вызывается смещением электрических зарядов под действием внешнего электрического поля относительно их положения, когда такое поле отсутствует.

Δ – оператор Набла. Действие этого оператора на конкретное поле называют ротором этого поля.

Δ х Е = rot E

ρ - плотность стороннего электрического заряда;

j - плотность тока - величина, показывающая силу тока, протекающего через единицу площади;

с – скорость света в вакууме.

Изучением электромагнитного поля занимается наука, называемая электродинамикой . Она рассматривает его взаимодействие с телами, имеющими электрический заряд. Такое взаимодействие называется электромагнитным . Классическая электродинамика описывает только непрерывные свойства электромагнитного поля с помощью уравнений Максвелла. Современная квантовая электродинамика считает, что электромагнитное поле обладает также и дискретными (прерывными) свойствами. И такое электромагнитное взаимодействие происходит с помощью неделимых частиц-квантов, не имеющих массы и заряда. Квант электромагнитного поля называют фотоном .

Электромагнитное поле вокруг нас

Электромагнитное поле образуется вокруг любого проводника с переменным током. Источниками электромагнитных полей являются линии электропередач, электродвигатели, трансформаторы, городской электрический транспорт, железнодорожный транспорт, электрическая и электронная бытовая техника – телевизоры, компьютеры, холодильники, утюги, пылесосы, радиотелефоны, мобильные телефоны, электробритвы - словом, всё, что связано с потреблением или передачей электроэнергии. Мощные источники электромагнитных полей – телевизионные передатчики, антенны станций сотовой телефонной связи, радиолокационные станции, СВЧ-печи и др. А так как таких устройств вокруг нас довольно много, то электромагнитные поля окружают нас повсюду. Эти поля воздействуют на окружающую среду и человека. Нельзя сказать, что это влияние всегда негативное. Электрические и магнитные поля существовали вокруг человека давно, но мощность их излучения ещё несколько десятилетий назад был в сотни раз ниже нынешнего.

До определённого уровня электромагнитное излучение может быть безопасным для человека. Так, в медицине с помощью электромагнитного излучения низкой интенсивности заживляют ткани, устраняют воспалительные процессы, оказывают обезболивающее действие. Аппараты УВЧ снимают спазмы гладкой мускулатуры кишечника и желудка, улучшают обменные процессы в клетках организма, снижая тонус капилляров, понижают артериальное давление.

Но сильные электромагнитные поля вызывают сбои в работе сердечно-сосудистой, имунной, эндокринной и нервной систем человека, могут вызывать бессонницу, головные боли, стрессы. Опасность в том, что их воздействие практически незаметно для человека, а нарушения возникают постепенно.

Каким образом защититься от окружающего нас электромагнитного излучения? Полностью это сделать невозможно, поэтому нужно постараться свести к минимуму его воздействие. Прежде всего нужно расположить бытовые приборы таким образом, чтобы они находились подальше от тех мест, где мы находимся чаще всего. Например, не нужно садиться слишком близко к телевизору. Ведь чем дальше расстояние от источника электромагнитного поля, тем слабее оно становится. Очень часто мы оставляем прибор, включенным в розетку. Но электромагнитное поле исчезает, лишь когда прибор отключается от электрической сети.

Влияют на здоровье человека и естественные электромагнитные поля – космическое излучение, магнитное поле Земли.

В современной физике при рассмотрении многих явлений наряду с понятием вещества вводится понятие поля: электромагнитное, гравитационное, поле ядерных сил и др. Иными словами, предполагается, что возможны две формы существования материи: вещество и поле. Несмотря на то, что вещество и электромагнитное поле являются различными формами существования материи, их свойства сходны во многих отношениях.

Вещество состоит из отдельных частиц: молекул, атомов, элементарных частиц (протонов, электронов, нейтронов и др.). Но и распространяющееся электромагнитное поле (электромагнитные волны) можно рассматривать как поток дискретных частиц – фотонов. Электромагнитное поле так же, как и вещество, характеризуется энергией, массой и импульсом. Правда, масса и импульс характерны только для распространяющегося электромагнитного поля (электромагнитных волн). В отличие от вещества электромагнитное поле не обладает массой покоя. Электромагнитные волны испытывают воздействие гравитационных сил. Известно, что путь распространения световых волн заметно искривляется под влиянием гравитационных сил больших масс вещества, например, Солнца. Импульс электромагнитных волн проявляется в давлении, которое они оказывают на материальные тела. С другой стороны, такие характерные для электромагнитных волн свойства, как дифракция и интерференция, присущи также материальным частицам. Известны, например, явления дифракции и интерференции электронов.

Энергия электромагнитного поля может переходить в другие виды энергии. Фактически само существование жизни на Земле обусловлено преобразованием электромагнитной энергии (энергии солнечных лучей) в тепловую, химическую и другие виды энергии.

Классическая или максвелловская теория электромагнитного поля учитывает только макроскопические свойства вещества: предполагается, что размеры рассматриваемой области пространства и расстояние от источников поля до рассматриваемой точки велики по сравнению с размерами молекул, а характерное для изменения электромагнитного поля время (например, период колебаний) велико по сравнению со временем, характерным для внутримолекулярных колебательных процессов. На основе классической теории электромагнитного поля может быть изучен широкий круг вопросов, встречающихся в радиотехнике. Классическая теория поля не охватывает, однако, всех его свойств. За ее пределами остаются такие явления, как излучение и поглощение веществом электромагнитных волн очень высокой частоты (например, световых), фотоэффект и др. Строгий анализ подобных явлений должен учитывать микроструктуру вещества и, следовательно, должен базироваться на квантовой теории поля. В пределах данного курса изучается классическая теория электромагнитного поля, т.е. исследуются только его макроскопические свойства.

Электромагнитное поле обычно разделяют на два взаимосвязанных поля: электрическое и магнитное.

Источниками электромагнитного поля являются электрические заряды. Неподвижные заряды создают только электрическое поле. Движущиеся заряды создают и электрическое, и магнитное поля. Токи проводимости и конвекционные токи представляют собой упорядоченно движущиеся электрические заряды и также создают электромагнитное поле. Заряды взаимодействуют друг с другом, причем сила их взаимодействия определяется законом Кулона.

Разделение единого электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относительный характер: оно зависит от выбранной системы отсчета. Например, движущийся прямолинейно с постоянной скоростью электрический заряд создает вокруг себя как электрическое, так и магнитное поле. Однако для наблюдателя, движущегося в том же направлении с той же скоростью, этот заряд является неподвижным и, следовательно, создает только электрическое поле.

Оба поля проявляются в виде механических или, как их принято называть, "пондеромоторных" сил. Если в электрическое поле внести пробный электрический заряд, то под действием этих сил он будет перемещаться. Аналогично магнитное поле изменяет направление движения пробного электрического заряда, а также ориентирует пробный постоянный магнит (магнитную стрелку). Электрическое поле действует и на неподвижные, и на движущиеся заряды, магнитное – только на движущиеся. Действие электромагнитного поля обладает определенной направленностью, поэтому для его описания вводят векторные величины. Рассмотрим основные векторы, характеризующие электромагнитное поле.